后缀数组(suffix array)详解-白红宇

后缀数组(suffix array)详解

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发布时间：2019-06-18

本文共 3787 字，大约阅读时间需要 12 分钟。

写在前面

在字符串处理当中，后缀树和后缀数组都是非常有力的工具。

其中后缀树大家了解得比较多，关于后缀数组则很少见于国内的资料。

其实后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，

能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也不太逊色，并且，它比后缀树所占用的空间小很多。

可以说，在信息学竞赛中后缀数组比后缀树要更为实用！

因此在本文中笔者想介绍一下后缀数组的基本概念、构造方法，

以及配合后缀数组的最长公共前缀数组的构造方法，最后结合一些例子谈谈后缀数组的应用。

What Is Suffix Array?

学习后缀数组需要认识几个概念：

子串

　　字符串S的子串r[i..j]，i<=j，表示S串中从i到j这一段，就是顺次排列r[i],r[i+1],...,r[j]形成的子串。

后缀

　　后缀是指从某个位置 i 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串r的从第i个字符开始的后缀表示为Suffix(i)，

也就是Suffix(i)=S[i...len(S)-1] 。

后缀数组(SA[i]存放排名第i大的后缀首字符下标)

　　后缀数组 SA 是一个一维数组，它保存1..n 的某个排列SA[1] ，SA[2] ，...,SA[n] ，

　　并且保证Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])， 1<=i<n 。

也就是将S的n个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA 中。

名次数组（rank[i]存放suffix(i)的优先级）

　　名次数组 Rank[i] 保存的是 Suffix(i) 在所有后缀中从小到大排列的“名次”

　　注：这个是排序的关键字~（这句话是我们排序的重点）

(我的理解):

sa[i]:保存的是S字符串的所有后缀在以字典序排序后，排在第i名的字符串在原来子串中的位置。

rank[i]:保存的是S字符串的所有后缀在以字典序排序后，原来的第i名现在排第几。

简单的说，后缀数组（SA）是“排第几的是谁？”，名次数组（RANK）是“你排第几？”。

容易看出，后缀数组和名次数组为互逆运算。我们只要算出了sa数组，就可以在O(n)的时间复杂度内算出rank数组。

height数组：height[i]保存的是suffix(i)和suffix(i-1)的最长公共前缀的长度。也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。

How To Build Suffix Array?

要构造Suffix Array,主要就是构造sa数组,rank数组和height数组。

首先来看一下如何构造sa数组：

构造sa数组的方法有三种：

1)倍增算法：O(nlongn)

2)DC3算法：O(n)

3)skew算法(不常用)

这里主要讲一下DC3算法：

DC3算法是一个优秀的线性算法！

很多人都认为DC3算法很复杂，其实也没多复杂，代码也就40多行，只是for循环多了点。

DC3算法：

1) 先将后缀分成两部分，然后对第一部分的后缀排序。

　　字符的编号从0开始。

　　将后缀分成两部分：

　　　　第一部分是后缀k（k模3不等于0）

　　　　第二部分是后缀k（k模3等于0）

2) 利用（1）的结果，对第二部分的后缀排序。

3) 将（1）和（2）的结果合并，即完成对所有后缀排序。

于是求出了所有后缀的排序，有什么用呢？主要是用于求它们之间的最长公共前缀（Longest Common Prefix，LCP）。

求出sa数组之后，根据rank[sa[i]]=i，rank数组自然也就能够在O(n)的时间内求出。

那我们如何快速的求出height数组呢？

令LCP(i,j)为第i小的后缀和第j小的后缀（也就是Suffix(SA[i])和Suffix(SA[j])）的最长公共前缀的长度，则有如下两个性质：

1. 对任意i<=k<=j，有LCP(i,j) = min(LCP(i,k),LCP(k,j))
2. LCP(i,j)=min(i<k<=j)(LCP(k-1,k))

令height[i]＝LCP(i-1,i)，即height[i]代表第i小的后缀与第i-1小的后缀的LCP，则求LCP(i,j)就等于求height[i+1]~height[j]之间的RMQ，套用RMQ算法就可以了，复杂度是预处理O(nlogn)，查询O(1).

这样一来我们就将height数组也求出来了。

下面用草稿纸来模拟一遍：

例如：

aabaaaab

总共有n=8个后缀：

1: aabaaaab

2: abaaaab

3: baaaab

4: aaaab

5: aaab

6: aab

7: ab

8: b

按照字典序排序后

sa[ 1 ] = 4 aaaab

sa[ 2 ] = 5 aaab

sa[ 3 ] = 6 aab

sa[ 4 ] = 1 aabaaaab

sa[ 5 ] = 7 ab

sa[ 6 ] = 2 abaaaab

sa[ 7 ] = 8 b

sa[ 8 ] = 3 baaaab

rank数组为：

rank[1]=4

rank[2]=6

rank[3]=8

rank[4]=1

rank[5]=2

rank[6]=3

rank[7]=5

rank[8]=7

height数组为：

height[ 1 ]=null

height[ 2 ]= 3

height[ 3 ]= 2

height[ 4 ]= 3

height[ 5 ]= 1

height[ 6 ]= 2

height[ 7 ]= 0

height[ 8 ]= 1

因此，所有子串的最长公共子串就是3.

这里给出一个理解程序：

/** this code is made by crazyacking* Verdict: Accepted* Submission Date: 2015-05-09-21.22* Time: 0MS* Memory: 137KB*/#include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         #include 
         
          #include 
          
           #include 
           
            #include 
            
             #include 
             #include 
              
               #include 
               
                #include 
                
                 #include 
                 
                  #include 
                  
                   #define LL long long#define ULL unsigned long longusing namespace std;const int MAXN=100010;//以下为倍增算法求后缀数组int wa[MAXN],wb[MAXN],wv[MAXN],Ws[MAXN];int cmp(int *r,int a,int b,int l){ return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];}/**< 传入参数：str,sa,len+1,ASCII_MAX+1 */void da(const char *r,int *sa,int n,int m){ int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t; for(i=0; i
                   
                    =0; i--) sa[--Ws[x[i]]]=i; for(j=1,p=1; p
                    
                     =j) y[p++]=sa[i]-j; for(i=0; i
                     
                      =0; i--) sa[--Ws[wv[i]]]=y[i]; for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i
                      
                       =1;--i) ++sa[i],Rank[i]=Rank[i-1];}char str[MAXN];int main(){ while(scanf("%s",str)!=EOF) { int len=strlen(str); da(str,sa,len+1,130); calheight(str,sa,len); puts("--------------All Suffix--------------"); for(int i=1; i<=len; ++i) { printf("%d:\t",i); for(int j=i-1; j

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The Use Of Suffix Array

这里只是简单的介绍几种后缀数组的运用，真正的熟练后缀数组，还需要通过不断的做题、不断的实践来掌握。

最长公共子串

我们知道，字符串的任何一个子串都可以看作是这个字符串某个的后缀的前缀。
求A和B的最长公共子串等价于求A的后缀和B的后缀的最长公共前缀的最大值。
将第二个字符串写在第一个字符串的后面，中间用一个没有出现过的字符隔开，在求出这个新字符串的后缀数组，然后我们只需要找最大的height[i]就可(前提是要判断是否不在同一个字符串中)。